2007年05月19日

2つの封筒問題

2つの封筒があり、それぞれにお金が入ってます。片方の封筒に入っている金額が、もう片方の封筒に入っている金額の2倍となっていることが分かっています。あなたは、最初にどちらか片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その後、改めてどちらの封筒を選ぶか決めることができます。二度目に選んだ封筒の中身をもらうことができます。

封筒Aの金額をx円(ただしxは偶数)とすると、封筒Bに2x円入っている確率は1/2、封筒Bにx/2円入っている確率は1/2なので、封筒Bに入っている金額の期待値は 1/2*2x + 1/2*(x/2) = 1.25x 円となり、封筒Aの金額x円よりも 0.25x円ほど期待値が高くなります。したがって、封筒を交換する方が得になります。封筒Aの金額が奇数であれば、必ず封筒Bの方が金額が高く、これもまた封筒を交換する方が得をしますから、結局、封筒Aの中身がいくらであっても、必ず封筒Bに交換する方が得をします。ということは、封筒Aの中身を見るまでもなく、封筒Bに交換する方が得をする、ということになります。

封筒Aを手に取った時点で、封筒Bに交換する方が得をするために、封筒Bを取りますが、ここで封筒を交換しても良いと言われると、今度は同じ議論で封筒Aに交換する方が得をします。このように繰り返すと、封筒を無限に交換し続けることになります。

有名な2つの封筒問題ですが、いろいろ調べてみると面白いのでまとめページ構築をはじめました。

posted by Seki at 01:13| Comment(3) | TrackBack(0) | 日記
この記事へのコメント
こんにちは。『2つの封筒問題』を改版して、以下の『第二種2つの封筒問題』としたら、どのように理解したら良いでしょう。

●第二種2つの封筒問題
2つの封筒があり、それぞれにお金が入ってます。片方の封筒に入っている金額が、もう片方の封筒に入っている金額の2倍となっていることが分かっています。【また、片方には1万円が入っていることも分かっています。】あなたは、最初に【2つの封筒をシャッフルしてもらい】片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その後【貴方がもし望むのであるならば】改めて【2つの封筒をシャッフルしてもらい】片方の封筒を選び、選んだ封筒の中身をもらうことができます。改めての2度目のシャッフルを望まなければ、最初に選んだ封筒の中身をもらうことができます。

(1) 最初の封筒に1万円入っていました。この時、もう一度シャッフルしてもらって選びなおした場合の封筒の中身の金額が、1万円と比べて大きいか、等しいか、小さいか…

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上の問題は、「2倍」にまつわるものでしたが、「1に等しくないαがあって、α倍となっている」とだけ事前に知らされた場合はどうなるのでしょう。
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自分の買ったネクタイが1万円であったときに、相手のネクタイと交換したほうが得か損かについてはどうでしょう。 相手のネクタイの値段は、1に等しくないαがあって、α倍となっているものとします。つまり、値段が違うことがわかっているものとして。
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『2つの封筒問題』のまとめページ、楽しみました。更新を期待しております。

Posted by スターダスト at 2012年04月16日 14:28
スターダストさん、懐かしいエントリにコメントありがとうございます。

「片方には1万円が入っている」という情報だけでは「もう片方に2万円が入っている確率」は分からないので、相手はどうするだろうかを考える心理戦になります。私ならば「相手が1万円という情報を出しているということは、もう片方は5000円だろう」と予測して、1万円あるいは2万円ならばシャッフルせず、5000円ならばシャッフルします。「もう片方に2万円が入っている確率が2分の1である」という条件があれば(たとえば、事前にさいころを振って偶数であれば2万円、奇数であれば5000円を入れる)、シャッフルすると期待値が11,250円に上がるので、シャッフルします。交換する方が期待値が高ければシャッフルする方が期待値が高く、交換で期待値が低ければシャッフルでも期待値が低いので、交換とシャッフルは本質に影響を与えません。

結局のところ「確率分布が定まらなければ計算ができない」ということではないかと思っています。α倍になっているとした時も、その確率分布を定めないと計算はできない、ということになろうかと思います。αが1万の約数でない場合には、交換した方が良いことだけはたしかだろうと思いますが。
Posted by seki at 2012年04月16日 15:00
さっそくのお返事をありがとうございます。

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「片方には1万円が入っている」という情報だけでは「もう片方に2万円が入っている確率」は分からない。
結局のところ「確率分布が定まらなければ計算ができない」
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なるほど、非常に明快ですね。 ところで「αが1万の約数でない場合には、交換した方が良いことだけはたしかだろうと」とのこと、再び楽しめそうです。 ありがとうございます。

Posted by スターダスト at 2012年04月17日 14:05
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